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Estructura

Estructura y Restricciones del Máster

Listado de asignaturas (6 ECTS cada una) ofertadas en el curso 25/26

Primer Semestre

Aprendizaje automático: modelos y aplicaciones

El aprendizaje automático (Machine Learning) combina estadística, optimización y computación para reconocer patrones complejos en datos. Permite desarrollar sistemas que mejoran sus resultados de manera automática, revolucionando industrias y la investigación científica.

Idioma: Inglés

Contenidos específicos

  • Introducción y fundamentos matemáticos: aprendizaje automático y aprendizaje estadístico. Métodos iterativos para optimización de funciones. Inferencia estadística clásica.
  • Tipos de problemas de aprendizaje estadístico: supervisado (regresión y clasificación), no supervisado (estimación aproximada de densidades), por refuerzo, y escenarios híbridos (semisupervisado).
  • Modelos para aprendizaje supervisado: redes neuronales (perceptrón multicapa y arquitecturas profundas), máquinas de soporte vectorial, árboles de decisión, bosques aleatorios, procesos Gaussianos, k-vecinos más cercanos, etc.
  • Modelos para aprendizaje no supervisado: reducción de dimensionalidad (PCA, SVD, DMD), modelos de agrupamiento (k-medias, jerárquico, mapas autoorganizativos).
  • Aplicaciones en ingeniería y ciencias sociales.

Profesor: TBA

Ecuaciones diferenciales ordinarias y aplicaciones

Las ecuaciones diferenciales ordinarias son esenciales para describir la evolución de sistemas físicos o biológicos en el tiempo. Su estudio permite comprender, predecir y controlar fenómenos dinámicos en ingeniería, ciencia y tecnología.

Idioma: Inglés

Contenidos específicos

  • Sistemas lineales no autónomos. Sistemas periódicos y teoría de Floquet.
  • Sistemas no lineales: teoría cualitativa, variedades invariantes, equivalencia topológica.
  • Teoría de bifurcaciones.
  • Perturbaciones singulares.
  • Fenómenos caóticos.
  • Aplicaciones en ciencias e ingeniería: Mecánica y Control de sistemas no lineales, dinámica de poblaciones.

Profesor: TBA

Ecuaciones en derivadas parciales y su aproximación numérica

Las ecuaciones en derivadas parciales sirven para modelar fenómenos donde intervienen múltiples variables espaciales y temporales. Aprender a resolverlas numéricamente es clave en campos como la ingeniería, la física computacional y la simulación por ordenador.

Idioma: Español

Contenidos específicos

  • Modelización de los principales problemas que dan lugar a las EDP: leyes de conservación, ecuaciones de difusión, ecuaciones de convección-difusión-reacción.
  • Soluciones débiles para modelos lineales. Métodos variacionales de existencia y unicidad.
  • Métodos de aproximación variacional: Galerkin.
  • Aproximación de ecuaciones elípticas: diferencias finitas, colocación, métodos espectrales y elementos finitos.
  • Aproximación de problemas parabólicos. Métodos explícitos e implícitos en tiempo.
  • Aproximación de problemas hiperbólicos.

Profesor: TBA

Estadística avanzada

La estadística avanzada provee métodos robustos para analizar datos complejos y extraer conclusiones fiables. Su dominio es vital en áreas como la ciencia de datos, investigación científica o las decisiones empresariales.

Idioma: Español

Contenidos específicos

  • Modelización estocástica.
  • Herramientas computacionales y de visualización. Minería de datos.
  • Programación estadística.
  • Series temporales. Modelos ARIMA.
  • Técnicas de suavización exponencial.
  • Métodos de Monte Carlo.
  • Problemas de dimensión alta.
  • Algoritmos de optimización estocástica.

Profesor: TBA

Modelización avanzada

Esta asignatura profundiza en modelos matemáticos para describir fenómenos complejos en mecánica de fluidos, estructuras continuas y su comportamiento dinámico. Resulta esencial para investigadores y profesionales de la ingeniería y la física.

Idioma: Español

Contenidos específicos

  • Mecánica de medios continuos. Leyes de conservación generales.
  • Leyes de conservación para fluidos newtonianos. Principales modelos de la dinámica de fluidos. Adimensionamiento.
  • Flujos perfectos incompresibles. Flujos irrotacionales y potenciales.
  • Flujos viscosos incompresibles. Ecuaciones de Navier-Stokes.
  • Flujos turbulentos. Problema de cierre e introducción a los principales modelos de turbulencia.
  • Ecuaciones de vigas y placas estacionarias.
  • Modelos dinámicos. Análisis de la estabilidad.

Profesor: TBA

Álgebra avanzada

Esta asignatura profundiza en la teoría de anillos, módulos y técnicas modernas en criptografía y resolución de sistemas polinomiales. Su estudio es clave para el desarrollo de la matemática abstracta y sus aplicaciones computacionales.

Idioma: Inglés

Contenidos específicos

  • Repaso de anillos, módulos, localización y espectro.
  • Anillos y módulos noetherianos.
  • Dependencia entera, morfismos finitos, teorema del ascenso y lema de Noether.
  • Anillos de valoración discreta y dominios de Dedekind. Teorema de finitud. Resolución de singularidades.
  • Completación, lema de Artin-Rees.
  • Criptografía y teoría de ideales computacional.
  • Resolución de sistemas de polinomios multivariados.

Profesor: TBA

Análisis avanzado

Este curso aborda conceptos profundos del análisis moderno, como distribuciones y espacios de Sobolev, proporcionando las bases para el estudio de problemas matemáticos en física teórica, ecuaciones diferenciales y transformadas integrales.

Idioma: Inglés

Contenidos específicos

  • Distribuciones y espacios de Sobolev.
  • Repaso sobre la transformada de Fourier en el espacio euclídeo y en grupos abelianos localmente compactos.
  • Integrales singulares y operadores pseudodiferenciales.
  • Funciones enteras y Teorema de Paley-Wiener. Principios de incertidumbre.
  • Espacios de Hardy y Teoría de Nevanlinna.
  • Análisis de Fourier discreto, teoría del muestreo, wavelets y aplicaciones al tratamiento de imagen y señales.

Profesor: TBA

Geometría diferencial y compleja avanzadas

La geometría diferencial y compleja brindan herramientas para describir la estructura profunda de superficies y variedades, con aplicaciones en relatividad, teoría de campos y otros campos avanzados de la física y la matemática pura.

Idioma: Inglés

Contenidos específicos

  • Variedades riemannianas, geodésicas, teorema de Hopf-Rinow, hipersuperficies.
  • Topología y curvatura, variedades de curvatura constante, teoremas de Hadamard y de Chern-Gauss-Bonet.
  • Estructuras conformes.
  • Variedades complejas. Superficies de Riemann.
  • Funciones analíticas y meromorfas en variedades, teorema de uniformización.
  • Divisores y teorema de Riemann-Roch.

Profesor: TBA

Sistemas dinámicos avanzados

Los sistemas dinámicos investigan cómo evoluciona un sistema a lo largo del tiempo, desde la aparición de caos hasta la existencia de atractores en contextos finito e infinito-dimensional. Son relevantes en mecánica, meteorología y modelización compleja.

Idioma: Inglés

Contenidos específicos

  • Repaso de conceptos básicos en sistemas dinámicos discretos y continuos.
  • Conjuntos invariantes. Atractores.
  • Campos hamiltonianos y aplicaciones.
  • Bifurcaciones: codimensión. Caos y fenómenos caóticos.
  • Ergodicidad, recurrencia y mixing. Entropía.
  • Dinámica infinito-dimensional. Semigrupos de operadores lineales. Aplicaciones a ecuaciones de evolución. Atractores infinito-dimensionales.

Profesor: TBA

Topología avanzada

La topología se encarga de estudiar propiedades fundamentales de los espacios que se mantienen bajo deformación continua. Este curso avanzado aborda homología y cohomología, base para campos como la geometría algebraica y la teoría de nudos.

Idioma: Español

Contenidos específicos

  • Homología.
  • Cohomología.
  • Teoremas de coeficientes universales, teorema de Künneth y dualidad.
  • Sucesiones exactas notables: del subespacio cerrado, de Mayer-Vietoris e isomorfismo de Gysin.
  • Cálculos explícitos, teorema del punto fijo.

Profesor: TBA

Segundo Semestre

Ampliación de estadística y ciencia de datos

En esta materia se profundiza en técnicas y algoritmos estadísticos para el manejo y procesamiento de grandes volúmenes de datos. Se aplican métodos de aprendizaje no supervisado y profundo en entornos de alta complejidad.

Idioma: Inglés

Contenidos específicos

  • Conceptos especializados de la ciencia de datos para generar modelos de aprendizaje automático considerando modelos probabilísticos y estadísticos.
  • Algoritmos avanzados enfocados al procesamiento de datos masivos, autoencoders y técnicas de clustering.
  • Algoritmos avanzados de aprendizaje no supervisado y aplicaciones para datos masivos, con muchas variables o con dinámicas complejas.
  • Técnicas de aprendizaje profundo para modelos predictivos, de clasificación y de reconstrucción. Diferencia entre modelos clásicos y generativos.
  • Extensión y generalización de modelos de aprendizaje profundo: modelos basados en principios físicos.
  • Técnicas de aprendizaje por refuerzo. Aplicaciones industriales y en ingeniería.

Profesor: TBA

Ampliación de álgebra, geometría y aritmética

Este curso amplía los conceptos tradicionales de álgebra, geometría y aritmética, integrando métodos computacionales y técnicas avanzadas para abordar problemas complejos en matemáticas y sus aplicaciones.

Idioma: Español

Contenidos específicos

  • Cohomología de haces y teorema de finitud.
  • Teoría de dualidad, haz dualizante y teorema de Riemann-Roch.
  • Haz de diferenciales y cálculo del haz dualizante.
  • Módulos proyectivos, inyectivos y planos; toros y extensiones.
  • Complejos de Koszul, sucesiones regulares y anillos Cohen-Macaulay.
  • Anillos regulares y teorema de Serre.
  • Métodos computacionales en álgebra no conmutativa: factorización y extensiones de Ore.
  • Bases de Gröbner en anillos de Poincaré-Birkhoff-Witt, grupos cuánticos, álgebra diferencial y en diferencias, conjuntos característicos.

Profesor: TBA

Física matemática

Este curso explora la intersección entre la física teórica y las herramientas matemáticas modernas, abarcando teorías de campo, relatividad y mecánica cuántica.

Idioma: Español

Contenidos específicos

  • Gravitación newtoniana, espacio-tiempo, representación de la materia y formulación geométrica.
  • Espacio-tiempo de Minkowsky.
  • Electromagnetismo.
  • Relatividad general, tensor de materia y ecuación de Einstein.
  • Introducción a la mecánica cuántica, observables.
  • Ecuación de Schrödinger, spin y el átomo de hidrógeno.

Profesor: TBA

Oferta de Asignaturas

Nota:

  • La oferta final de asignaturas impartidas puede variar en cada curso académico.
  • Algunas asignaturas se ofertan en inglés. Pinchar en cada asignatura concreta para más información.

De acuerdo a la oferta presentada, los estudiantes deberán completar:

  1. Bien 18 créditos dados por las 3 asignaturas del bloque Matemática Aplicada en el primer semestre:

    • Ecuaciones diferenciales ordinarias y aplicaciones.
    • Ecuaciones en derivadas parciales y su aproximación numérica.
    • Estadística avanzada.

    o bien 18 créditos dados por las 3 asignaturas del bloque Matemática Fundamental en el primer semestre:

    • Análisis avanzado.
    • Álgebra avanzada.
    • Geometría diferencial y compleja avanzadas.
  2. Otros 24 créditos entre el resto de asignaturas, incluyendo las asignaturas no seleccionadas para cubrir los 18 créditos anteriores, y prácticas académicas externas (máximo 6 ECTS).
  3. Finalmente, 18 créditos de TFM. Orientativamente, en cuanto a la temática de los TFM, aquí se pueden consultar temáticas de Trabajos de Fin de Grado del GeM.