Listado de asignaturas (6 ECTS cada una)
Primer Semestre
Aprendizaje automático: modelos y aplicaciones
El aprendizaje automático (Machine Learning) combina estadística, optimización y computación para reconocer patrones complejos en datos. Permite desarrollar sistemas que mejoran sus resultados de manera automática, revolucionando industrias y la investigación científica.
Idioma: Inglés
Contenidos específicos
- Introducción y fundamentos matemáticos: aprendizaje automático y aprendizaje estadístico. Métodos iterativos para optimización de funciones. Inferencia estadística clásica.
- Tipos de problemas de aprendizaje estadístico: supervisado (regresión y clasificación), no supervisado (estimación aproximada de densidades), por refuerzo, y escenarios híbridos (semisupervisado).
- Modelos para aprendizaje supervisado: redes neuronales (perceptrón multicapa y arquitecturas profundas), máquinas de soporte vectorial, árboles de decisión, bosques aleatorios, procesos Gaussianos, k-vecinos más cercanos, etc.
- Modelos para aprendizaje no supervisado: reducción de dimensionalidad (PCA, SVD, DMD), modelos de agrupamiento (k-medias, jerárquico, mapas autoorganizativos).
- Aplicaciones en ingeniería y ciencias sociales.
Profesor: TBA
Ecuaciones diferenciales ordinarias y aplicaciones
Las ecuaciones diferenciales ordinarias son esenciales para describir la evolución de sistemas físicos o biológicos en el tiempo. Su estudio permite comprender, predecir y controlar fenómenos dinámicos en ingeniería, ciencia y tecnología.
Idioma: Inglés
Contenidos específicos
- Sistemas lineales no autónomos. Sistemas periódicos y teoría de Floquet.
- Sistemas no lineales: teoría cualitativa, variedades invariantes, equivalencia topológica.
- Teoría de bifurcaciones.
- Perturbaciones singulares.
- Fenómenos caóticos.
- Aplicaciones en ciencias e ingeniería: Mecánica y Control de sistemas no lineales, dinámica de poblaciones.
Profesor: TBA
Ecuaciones en derivadas parciales y su aproximación numérica
Las ecuaciones en derivadas parciales sirven para modelar fenómenos donde intervienen múltiples variables espaciales y temporales. Aprender a resolverlas numéricamente es clave en campos como la ingeniería, la física computacional y la simulación por ordenador.
Idioma: Español
Contenidos específicos
- Modelización de los principales problemas que dan lugar a las EDP: leyes de conservación, ecuaciones de difusión, ecuaciones de convección-difusión-reacción.
- Soluciones débiles para modelos lineales. Métodos variacionales de existencia y unicidad.
- Métodos de aproximación variacional: Galerkin.
- Aproximación de ecuaciones elípticas: diferencias finitas, colocación, métodos espectrales y elementos finitos.
- Aproximación de problemas parabólicos. Métodos explícitos e implícitos en tiempo.
- Aproximación de problemas hiperbólicos.
Profesor: TBA
Estadística avanzada
La estadística avanzada provee métodos robustos para analizar datos complejos y extraer conclusiones fiables. Su dominio es vital en áreas como la ciencia de datos, investigación científica o las decisiones empresariales.
Idioma: Español
Contenidos específicos
- Modelización estocástica.
- Herramientas computacionales y de visualización. Minería de datos.
- Programación estadística.
- Series temporales. Modelos ARIMA.
- Técnicas de suavización exponencial.
- Métodos de Monte Carlo.
- Problemas de dimensión alta.
- Algoritmos de optimización estocástica.
Profesor: TBA
Modelización avanzada
Esta asignatura profundiza en modelos matemáticos para describir fenómenos complejos en mecánica de fluidos, estructuras continuas y su comportamiento dinámico. Resulta esencial para investigadores y profesionales de la ingeniería y la física.
Idioma: Español
Contenidos específicos
- Mecánica de medios continuos. Leyes de conservación generales.
- Leyes de conservación para fluidos newtonianos. Principales modelos de la dinámica de fluidos. Adimensionamiento.
- Flujos perfectos incompresibles. Flujos irrotacionales y potenciales.
- Flujos viscosos incompresibles. Ecuaciones de Navier-Stokes.
- Flujos turbulentos. Problema de cierre e introducción a los principales modelos de turbulencia.
- Ecuaciones de vigas y placas estacionarias.
- Modelos dinámicos. Análisis de la estabilidad.
Profesor: TBA
Optimización y cálculo de variaciones
La optimización y el cálculo de variaciones permiten encontrar configuraciones o soluciones “óptimas” entre todas las posibles, con múltiples aplicaciones en ciencia e ingeniería, desde diseño de estructuras hasta control de procesos.
Idioma: Español
Contenidos específicos
- Motivación del cálculo de variaciones.
- Método directo del cálculo de variaciones.
- Condiciones de optimalidad: primera y segunda variación.
- Introducción a los métodos de aproximación.
- Aplicaciones a ecuaciones diferenciales.
- Aplicaciones en diseño óptimo o problemas inversos.
- Cálculo de variaciones multivariable. Aplicaciones.
- Teoría de control óptimo.
Profesor: TBA
Álgebra avanzada
Esta asignatura profundiza en la teoría de anillos, módulos y técnicas modernas en criptografía y resolución de sistemas polinomiales. Su estudio es clave para el desarrollo de la matemática abstracta y sus aplicaciones computacionales.
Idioma: Inglés
Contenidos específicos
- Repaso de anillos, módulos, localización y espectro.
- Anillos y módulos noetherianos.
- Dependencia entera, morfismos finitos, teorema del ascenso y lema de Noether.
- Anillos de valoración discreta y dominios de Dedekind. Teorema de finitud. Resolución de singularidades.
- Completación, lema de Artin-Rees.
- Criptografía y teoría de ideales computacional.
- Resolución de sistemas de polinomios multivariados.
Profesor: TBA
Análisis avanzado
Este curso aborda conceptos profundos del análisis moderno, como distribuciones y espacios de Sobolev, proporcionando las bases para el estudio de problemas matemáticos en física teórica, ecuaciones diferenciales y transformadas integrales.
Idioma: Inglés
Contenidos específicos
- Distribuciones y espacios de Sobolev.
- Repaso sobre la transformada de Fourier en el espacio euclídeo y en grupos abelianos localmente compactos.
- Integrales singulares y operadores pseudodiferenciales.
- Funciones enteras y Teorema de Paley-Wiener. Principios de incertidumbre.
- Espacios de Hardy y Teoría de Nevanlinna.
- Análisis de Fourier discreto, teoría del muestreo, wavelets y aplicaciones al tratamiento de imagen y señales.
Profesor: TBA
Geometría algebraica y aritmética avanzadas
Esta materia integra la geometría y la teoría de números, presentando métodos de esquemas y haces para analizar problemas geométricos y aritméticos. Resulta esencial para la investigación en matemáticas puras y sus aplicaciones criptográficas.
Idioma: Español
Contenidos específicos
- Haces, esquemas, haces coherentes y cuasicoherentes.
- Espectro proyectivo y variedad de Riemann.
- Morfismos de esquemas: cerrados, proyectivos, propios.
- Haces de línea, divisores y grupo de Picard.
- Introducción a la teoría de números: teoremas de Minkowsky, Dirichlet, Ostrowsky.
- Teoría algebraica de números: teoremas de finitud y unidades, teoría de valoraciones, automorfismo de Frobenius.
- Teoría analítica de números, funciones zeta.
Profesor: TBA
Geometría diferencial y compleja avanzadas
La geometría diferencial y compleja brindan herramientas para describir la estructura profunda de superficies y variedades, con aplicaciones en relatividad, teoría de campos y otros campos avanzados de la física y la matemática pura.
Idioma: Inglés
Contenidos específicos
- Variedades riemannianas, geodésicas, teorema de Hopf-Rinow, hipersuperficies.
- Topología y curvatura, variedades de curvatura constante, teoremas de Hadamard y de Chern-Gauss-Bonet.
- Estructuras conformes.
- Variedades complejas. Superficies de Riemann.
- Funciones analíticas y meromorfas en variedades, teorema de uniformización.
- Divisores y teorema de Riemann-Roch.
Profesor: TBA
Sistemas dinámicos avanzados
Los sistemas dinámicos investigan cómo evoluciona un sistema a lo largo del tiempo, desde la aparición de caos hasta la existencia de atractores en contextos finito e infinito-dimensional. Son relevantes en mecánica, meteorología y modelización compleja.
Idioma: Inglés
Contenidos específicos
- Repaso de conceptos básicos en sistemas dinámicos discretos y continuos.
- Conjuntos invariantes. Atractores.
- Campos hamiltonianos y aplicaciones.
- Bifurcaciones: codimensión. Caos y fenómenos caóticos.
- Ergodicidad, recurrencia y mixing. Entropía.
- Dinámica infinito-dimensional. Semigrupos de operadores lineales. Aplicaciones a ecuaciones de evolución. Atractores infinito-dimensionales.
Profesor: TBA
Topología avanzada
La topología se encarga de estudiar propiedades fundamentales de los espacios que se mantienen bajo deformación continua. Este curso avanzado aborda homología y cohomología, base para campos como la geometría algebraica y la teoría de nudos.
Idioma: Español
Contenidos específicos
- Homología.
- Cohomología.
- Teoremas de coeficientes universales, teorema de Künneth y dualidad.
- Sucesiones exactas notables: del subespacio cerrado, de Mayer-Vietoris e isomorfismo de Gysin.
- Cálculos explícitos, teorema del punto fijo.
Profesor: TBA
Segundo Semestre
Ampliación de análisis numérico
El análisis numérico busca crear y analizar algoritmos eficientes para resolver problemas matemáticos de forma aproximada. Esta ampliación abarca métodos avanzados para grandes escalas, sistemas acoplados y ecuaciones diferenciales complejas.
Idioma: Inglés
Contenidos específicos
- Métodos Runge-Kutta y métodos paralelos en el tiempo para ecuaciones diferenciales ordinarias.
- Métodos de elementos finitos estabilizados para problemas de valor inicial en ecuaciones en derivadas parciales (SUPG). Análisis de error y estabilidad.
- Métodos Arbitrarios Lagrangianos Eulerianos para problemas de dinámica de fluidos computacional.
- Resolución de problemas de gran escala: métodos multimalla y de descomposición de dominio.
- Resolución de problemas de gran escala: modelos de orden reducido.
- Aplicación a modelos de elasticidad: problemas singulares y geometrías complejas.
Profesor: TBA
Ampliación de ecuaciones diferenciales y optimización
Esta asignatura expande los conocimientos sobre ecuaciones diferenciales no lineales y su relación con la optimización, proporcionando herramientas avanzadas para resolver problemas complejos en ingeniería, ciencia y matemática aplicada.
Idioma: Español
Contenidos específicos
- Modelización a través de términos no lineales en ecuaciones diferenciales.
- Principales técnicas de resolución de ecuaciones diferenciales no lineales: métodos de punto fijo, comparación y topológicos.
- Resolución de ecuaciones elípticas, parabólicas e hiperbólicas semilineales y no lineales.
- Problemas de optimización con restricciones distribuidas.
- Programación dinámica.
Profesor: TBA
Ampliación de estadística y ciencia de datos
En esta materia se profundiza en técnicas y algoritmos estadísticos para el manejo y procesamiento de grandes volúmenes de datos. Se aplican métodos de aprendizaje no supervisado y profundo en entornos de alta complejidad.
Idioma: Inglés
Contenidos específicos
- Conceptos especializados de la ciencia de datos para generar modelos de aprendizaje automático considerando modelos probabilísticos y estadísticos.
- Algoritmos avanzados enfocados al procesamiento de datos masivos, autoencoders y técnicas de clustering.
- Algoritmos avanzados de aprendizaje no supervisado y aplicaciones para datos masivos, con muchas variables o con dinámicas complejas.
- Técnicas de aprendizaje profundo para modelos predictivos, de clasificación y de reconstrucción. Diferencia entre modelos clásicos y generativos.
- Extensión y generalización de modelos de aprendizaje profundo: modelos basados en principios físicos.
- Técnicas de aprendizaje por refuerzo. Aplicaciones industriales y en ingeniería.
Profesor: TBA
Ampliación de análisis
Esta asignatura profundiza en aspectos avanzados del análisis, proporcionando herramientas fundamentales para la investigación matemática, especialmente en el estudio de operadores y técnicas microlocales aplicadas a ecuaciones diferenciales.
Idioma: Español
Contenidos específicos
- Repaso de la teoría de operadores lineales en espacios de Hilbert y Banach.
- Teoría espectral de operadores autoadjuntos.
- Teorema de Stone y aplicaciones a la física matemática.
- Introducción al análisis microlocal, integrales oscilantes, cálculo simbólico de operadores pseudodiferenciales, propagación de singularidades y aplicaciones a las ecuaciones en derivadas parciales.
- Aplicaciones cuasi-conformes y cuasi-regulares. Análisis de funciones holomorfas en varias variables.
Profesor: TBA
Ampliación de álgebra, geometría y aritmética
Este curso amplía los conceptos tradicionales de álgebra, geometría y aritmética, integrando métodos computacionales y técnicas avanzadas para abordar problemas complejos en matemáticas y sus aplicaciones.
Idioma: Español
Contenidos específicos
- Cohomología de haces y teorema de finitud.
- Teoría de dualidad, haz dualizante y teorema de Riemann-Roch.
- Haz de diferenciales y cálculo del haz dualizante.
- Módulos proyectivos, inyectivos y planos; toros y extensiones.
- Complejos de Koszul, sucesiones regulares y anillos Cohen-Macaulay.
- Anillos regulares y teorema de Serre.
- Métodos computacionales en álgebra no conmutativa: factorización y extensiones de Ore.
- Bases de Gröbner en anillos de Poincaré-Birkhoff-Witt, grupos cuánticos, álgebra diferencial y en diferencias, conjuntos característicos.
Profesor: TBA
Ampliación de geometría y topología
Este curso abarca temas punteros en geometría y topología, como la clasificación de variedades, la teoría de nudos y la geometría simpléctica, abriendo el camino a investigaciones de frontera en matemáticas puras y aplicadas.
Idioma: Español
Contenidos específicos
- Fibrados vectoriales y cálculo diferencial valorado.
- Conexiones en fibrados.
- Teorema del fibrado proyectivo, clases características. Grupo K.
- Grupos y álgebras de Lie.
- Geometría simpléctica y hamiltoniana.
- Métodos topológicos en la física matemática.
Profesor: TBA
Física matemática
Este curso explora la intersección entre la física teórica y las herramientas matemáticas modernas, abarcando teorías de campo, relatividad y mecánica cuántica.
Idioma: Español
Contenidos específicos
- Gravitación newtoniana, espacio-tiempo, representación de la materia y formulación geométrica.
- Espacio-tiempo de Minkowsky.
- Electromagnetismo.
- Relatividad general, tensor de materia y ecuación de Einstein.
- Introducción a la mecánica cuántica, observables.
- Ecuación de Schrödinger, spin y el átomo de hidrógeno.
Profesor: TBA
Nota:
- La oferta final de asignaturas impartidas puede variar en cada curso académico.
- Algunas asignaturas se ofertan en inglés. Pinchar en cada asignatura concreta para más información.
De acuerdo a la oferta presentada, los estudiantes deberán completar:
-
Bien 18 créditos dados por las 3 asignaturas del bloque Matemática Aplicada en el primer semestre:
- Ecuaciones diferenciales ordinarias y aplicaciones.
- Ecuaciones en derivadas parciales y su aproximación numérica.
- Estadística avanzada.
o bien 18 créditos dados por las 3 asignaturas del bloque Matemática Fundamental en el primer semestre:
- Análisis avanzado.
- Álgebra avanzada.
- Geometría diferencial y compleja avanzadas.
- Otros 24 créditos entre el resto de asignaturas, incluyendo las asignaturas no seleccionadas para cubrir los 18 créditos anteriores, y prácticas académicas externas (máximo 6 ECTS).
- Finalmente, 18 créditos de TFM. Orientativamente, en cuanto a la temática de los TFM, aquí se pueden consultar temáticas de Trabajos de Fin de Grado del GeM.